Numeros

Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930), fue un brillante matemático y filósofo inglés que desarrolló su trabajo en la Universidad de Cambridge. Hizo importantes contribuciones teóricas a la matemática, la estadística y la economía aunque sus preocupaciones intelectuales rondaban generalmente en torno a la filosofía. De una intelegencia prodigiosa, se cuenta que fue capaz de aprender alemán en tan sólo una semana, usando un diccionario y una gramática (posteriormente usó esos conocimientos para leer Tractatus Logico-Philosophicus de Wittgenstein). Una dolencia renal crónica acabó con su vida y su prometedora carrera a los 26 años.

En uno de los artículos de este autor, On a problem of formal logic (Sobre un problema de lógica formal) prueba un teorema con importantes consecuencias para la rama de las matemáticas conocida como combinatoria. Hoy día este teorema lleva su nombre y se conoce como Teorema de Ramsey. Este teorema nos dice, en resumen, que el desorden completo es imposible, es decir, que todo conjunto suficientemente grande de elementos contiene, por necesidad configuraciones regulares. Estas afirmaciones nos llevan a concluir, por tanto, que el concepto de orden, de modo absoluto, no existe, tratándose sólamente de una cuestión de escala.

Este teorema da respuestas a preguntas tan dispersas como ¿cuál es la región más pequeña del espacio donde siempre que miremos hallaremos 5 estrellas alineadas? o ¿cuál es el número mínimo de invitados a una fiesta para garantizar que al menos tres se conozcan o bien tres sean desconocidos? (la respuesta es 6). Otra aplicación más fácilmente comprobable: cojamos los 101 primeros números naturales y dispongámolos en el orden que nosotros queramos. Siempre seremos capaces de encontrar al menos once números que formen una secuencia creciente o decreciente.

Otro matemático Ronald L. Graham [En] definió como una cota superior a este Teorema de Ramsey un número que hoy es conocido como el número de Graham. Este número es el mayor número jamás usado en matemáticas en un problema serio, o dicho de otro modo, el mayor número jamás usado con alguna finalidad práctica (y así aparece en El Libro Guinness de los Récords) .

El número de Graham es inexpresable con notación decimal convencional. Incluso si toda la materia del universo fuese transformada en tinta y papel seríamos incapaces de representar tal número. De hecho, tampoco puede representarse como potencia de potencias. Para hacernos una leve idea de su magnitud podemos definirlo recursivamente, según una notación, inventada por Donald Knuth, del siguiente modo:

3↑3 = 3 al cubo = 33 = 3 x 3 x 3 = 27

3↑↑3 = 3↑(3↑3) = 3↑27 = 3↑27 = 333 = 7.625.597.484.987 Esto hace una torre de 3 exponentes anidados.

3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7.625.597.484.987 = 3↑(7.625.597.484.987↑7.625.597.484.987) Esto hace una torre de 7.625.597.484.986 exponentes anidados.

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) Esto nos daría una torre de exponentes de una altura difícilmente imaginable.

Usando esta notación definimos:

G1 = 3↑↑↑↑3

G2 = 3↑↑...↑↑3, siendo el número de flechas = G1

G3 = 3↑↑...↑↑3, siendo el número de flechas = G2
…
…
…

Número de Graham G = 3↑↑...↑↑3, siendo el número de flechas = G63

No. No se trata de una errata. Repetimos el proceso 63 veces (¡¡!!). Sin lugar a dudas es un número que por mucho que nos esforcemos, no seremos capaces de intuir ni siquiera mínimamente. Sin embargo, no olvidemos que se trata de una cota superior. Pueden existir otras y de hecho, se sospecha, que otra cota superior de este teorema es… simplemente 6.

Editado 06/02/2008:

Nota aclaratoria respecto a la notación de Knuth:

a↑↑b = a ↑ a ↑ a ↑ ... (b veces) ... ↑ a = aaa...a Con una torre de b-1 exponentes anidados.

Notación de Knuth, explicación detallada.